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Una primera aproximación a la Estadística Bayesiana

Unidad 1 Contexto

El curso “Una primera aproximación a la Estadística Bayesiana”, con una duración de 10 horas, está ofertado a alumnado de doctorado con una formación científica en el ámbito BIO.

El curso se desarrollará íntegramente online a través de videoconferencia síncrona, durante un total de 10 horas, seccionadas en 4 sesiones de dos horas y media cada una de ellas, los días 8, 10, 15 y 17 de noviembre de 2022, de 16 a 18:30h.

Se presentarán los contenidos a través de ejemplos prácticos programados en R, para que el estudiantado pueda ir generando resultados y comentando las interpretaciones derivadas del análisis.

La evaluación es continua basada en la interacción con el profesorado durante las sesiones de trabajo.

1.1 Objetivos de aprendizaje

  • Conocer los conceptos básicos en el planteamiento bayesiano de la Estadística.
  • Identificar la relevancia de la información previa y de expertos, y la proporcionada por los datos.
  • Conocer los procedimientos básicos para conjugar la información disponible.
  • Aplicar los conocimientos básicos en problemas sencillos.
  • Descubrir las dificultades computacionales en la inferencia bayesiana.

1.2 Contenidos propuestos

  1. De probabilidad va la historia: la relevancia de las probabilidades condicionadas y el teorema de Bayes.
  2. La jerga base: incertidumbre, a priori, a posteriori y verosímil.
  3. Manos en la masa 1: ¿con qué probabilidad ocurrió?
  4. Manos en la masa 2: ¿con qué abundancia ocurrió?
  5. Curioseando para saber más: manuales y software.

1.3 Contenidos definitivos

  1. SESIÓN 1: Probabilidades, Bayes y las proporciones.
  2. SESIÓN 2: INLA y la regresión.
  3. SESIÓN 3: INLA y el ANOVA.
  4. SESIÓN 4: INLA y los GLM.

1.4 INLA

INLA es una librería de R que aproxima la inferencia Bayesiana para modelos gausianos latentes (LGM). Sus siglas provienen de Integrated Nested Laplace Approximation (INLA), que es un método para aproximar las inferencias bayesianas a través de la aproximación de Laplace.

Aunque la metodología INLA se ha desarrollado sobre modelos que se pueden expresar como campos aleatorios markovianos gausianos (Gaussian Markov random fields, GMRF), es viable para una gran familia de modelos habituales en la práctica estadística.

Disponemos de referencias múltiples y documentación de esta librería en la web r-inla.org, y en particular en el manual de referencia de Gómez-Rubio (2021) titulado Bayesian inference with INLA, también publicado por Chapman & Hall-CRC Press.

1.4.1 Instalación

Para instalar la librería INLA hemos de ejecutar, desde R, el comando

install.packages("INLA", repos=c(getOption("repos"), 
                INLA="https://inla.r-inla-download.org/R/stable"), 
                dep=TRUE)
# y a continuación la cargamos con:
library(INLA)

Para instalar actualizaciones, basta con ejecutar

options(repos = c(getOption("repos"), 
                  INLA="https://inla.r-inla-download.org/R/testing"))
update.packages("INLA", dep=TRUE)

Las descargas y documentación completa sobre INLA está disponible en R-INLA home.

Ya desde R, para pedir ayuda sobre funciones en INLA, basta usar el comando inla.doc(), especificando dentro y entrecomillada, la función/objeto sobre el que se solicita ayuda. Por ejemplo, inla.doc("ar1") o inla.doc("loggamma").

También utilizaremos una librería accesoria de INLA, brinla, desarrollada por Faraway, Yue y Wan, 2022.

install.packages("remotes")
remotes::install_github("julianfaraway/brinla")

1.4.2 Fundamentos

INLA está basado en la resolución de integrales vía la aproximación de Laplace, que aproxima el integrando a través de una expansión de Taylor de segundo grado que permite calcular la integral analíticamente. \[\begin{eqnarray*} I_n&=&\int_x exp[nf(x)]dx \\ &\approx& \int_x exp[n(f(x_0)+1/2 (x-x_0)^2 f''(x_0))] dx \\ &=& exp[nf(x_0)] \cdot \sqrt{\frac{2\pi}{-n f''(x_0)}} \end{eqnarray*}\]

Evita así los largos tiempos de simulación de las cadenas de Markov Monte Carlo. Cuando las distribuciones a integrar son Gausianas, Laplace da órdenes buenos de aproximación. Y este es el principio que usa para modelizar la mayoría de los modelos habituales, que se integran dentro de la amplia clase de los modelos gausianos latentes, en los que se aplica INLA.

INLA se ha aplicado en mapeo estadístico, modelos de cohorte multidimensionales, modelos de asociación espacial, genética, análisis medioambientales, salud y epidemiología, dinámicas de infecciones, estudios agronómicos, meta-análisis, impacto del cambio climático y muchos más ámbitos (Rue et al, 2017).